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《正弦函数余弦函数的性质》高一年级下册PPT课件(第1课时).pptx

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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦、余弦函数的性质(一)1.4三角函数的图象与性质CONTENTS自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203栏目导航自主预习学案第一章三角函数01如果现在是早上9点钟,问你:24小时以后是几点钟?你会毫不犹豫地回答:还是早上9点钟.因为你很清楚,0点、1点、2点、3点……23点,每隔24小时就重复出现一次。第一章三角函数如果今天是星期一,问你:7天以后是星期几?你也会回答:还是星期一.因为你很清楚,星期一、星期二……星期天,每隔7天就重复出现一次.相同的间隔而重复出现的现象称为周期现象,如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象,如日出日落、月圆月缺、四季交替,等等.正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢?1.周期函数(1)周期函数条件①对于函数f(x),存在一个________常数T②当x取定义域内的每一个值时,都有________________结论函数f(x)叫做____________,______________叫做这个函数的________非零f(x+T)=f(x)周期函数非零常数T周期第一章三角函数(2)最小正周期本书中,在没有特殊说明的情况下,三角函数的周期均是指它的______________.正数条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的________结论这个最小________叫做f(x)的最小正周期正数最小正周期第一章三角函数[知识点拨]函数周期性的理解(1)不是所有的函数都是周期函数.(2)一个周期函数的周期不止一个,若有最小正周期,则最小正周期只有一个.(3)若T是函数f(x)的一个周期,则kT(k∈Z,且k≠0)也是函数f(x)的周期.(4)设周期为T的函数的定义域为M,若x∈M,则必有x+nT∈M(n∈Z且n≠0),因此周期函数的定义域一定是无限集.(5)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质,只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x+T)=f(x)都不能说T是f(x)的周期.若一个函数为周期函数,则只需研究它在一个周期范围内的性质,就可以知道它的整体性质.第一章三角函数2.正弦函数、余弦函数的周期(1)正弦函数y=sinx是周期函数,2kπ(kZ∈,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是________.(2)余弦函数y=cosx是周期函数,2kπ(kZ∈,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是________.2π2π第一章三角函数[知识点拨]函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期:(1)函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期T=2πω.(2)函数y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期T=2πω.[知识点拨]函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期:(1)函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期T=2πω.(2)函数y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期T=2πω.第一章三角函数3.正弦函数、余弦函数的奇偶性及对称性(1)正弦函数y=sinx是______函数,其图象关于________对称.(2)余弦函数y=cosx是______函数,其图象关于________对称.奇原点偶y轴×1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)因为sin(π4+π2)=sinπ4,所以π4可以是函数y=sinx的一个周期.()(2)任何周期函数都有最小正周期.()(3)函数y=sinx,x∈[-2π,2π]是周期函数.()(4)函数y=sin(x+π2)是奇函数.()(5)正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形也是中心对称图形.()×××√1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)因为sin(π4+π2)=sinπ4,所以π4可以是函数y=sinx的一个周期.()(2)任何周期函数都有最小正周期.()(3)函数y=sinx,x∈[-2π,2π]是周期函数.()(4)函数y=sin(x+π2)是奇函数.()(5)正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形也是中心对称图形.()第一章三角函数2.设函数f(x)=sin(2x-π2),x∈R,则f(x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数B2.设函数f(x)=sin(2x-π2),x∈R,则f(x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数第一章三角函数3.函数y=2sin2x的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数4.若函数f(x)满足f(x+3)-f(x)=0,则函数f(x)是周期为______的周期函数.5.若函数f(x)的最小正周期是4,则必有f(x+8)=____________.A3f(x)3.函数y=2sin2x的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数4.若函数f(x)满足f(x+3)-f(x)=0,则函数f(x)是周期为______的周期函数.5.若函数f(x)的最小正周期是4,则必有f(x+8)=____________.互动探究学案第一章三角函数02求下列函数的周期.(1)y=sin12x;(2)y=2sin(x3-π6);(3)y=cosx,x∈R.命题方向1三角函数的周期⇨典例1[思路分析]可以根据周期函数的定义求解,也可以用公式T=2πω直接求解.求下列函数的周期.(1)y=sin12x;(2)y=2sin(x3-π6);(3)y=cosx,x∈R.[思路分析]可以根据周期函数的定义求解,也可以用公式T=2πω直接求解.第一章三角函数[解析](1)解法1:令u=12x,则y=sinu是周期函数,且周期为2π.∴sin(12x+2π)=sin12x,即sin[12(x+4π)]=sin12x.∴y=sin12x的周期是4π.解法2:(公式法)∵ω=12,∴T=2π12=4π.[解析](1)解法1:令u=12x,则y=sinu是周期函数,且周期为2π.∴sin(12x+2π)=sin12x,即sin[12(x+4π)]=sin12x.∴y=sin12x的周期是4π.解法2:(公式法)∵ω=12,∴T=2π12=4π.第一章三角函数(2)解法1:∵2sin(x3-π6+2π)=2sin(x3-π6),∴2sin[13(x+6π)-π6]=2sin(x3-π6),∴y=2sin(x3-π6)的周期是6π.解法2:∵ω=13,∴T=2π13=6π.(2)解法1:∵2sin(x3-π6+2π)=2sin(x3-π6),∴2sin[13(x+6π)-π6]=2sin(x3-π6),∴y=2sin(x3-π6)的周期是6π.解法2:∵ω=13,∴T=2π13=6π.第一章三角函数(3)y=cosx的图象如图(实线部分)所示,由图象可知,y=cosx的周期为π.(3)y=cosx的图象如图(实线部分)所示,由图象可知,y=cosx的周期为π.第一章三角函数『规律总结』求三角函数周期的方法(1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数.(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0),可利用T=2πω来求.(3)图象法:可画出函数的图象,借助于图象判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法.『规律总结』求三角函数周期的方法(1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数.(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0),可利用T=2πω来求.(3)图象法:可画出函数的图象,借助于图象判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法.第一章三角函数〔跟踪练习1〕求下列函数的最小正周期.(1)y=sin(3x+π3);(2)y=cos(2x+π6);(3)y=sin(2πx-π4).〔跟踪练习1〕求下列函数的最小正周期.(1)y=sin(3x+π3);(2)y=cos(2x+π6);(3)y=sin(2πx-π4).第一章三角函数[解析](1)∵ω=3,T=2π3.(2)∵函数y=cos(2x+π6)的最小正周期为π,而函数y=cos(2x+π6)的图象是将函数y=cos(2x+π6)的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方,并且保留在x轴上方图象而得到的,由此可知所求函数的最小正周期为T=π2.(3)∵ω=2π,∴T=2π2π=π2.[解析](1)∵ω=3,T=2π3.(2)∵函数y=cos(2x+π6)的最小正周期为π,而函数y=cos(2x+π6)的图象是将函数y=cos(2x+π6)的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方,并且保留在x轴上方图象而得到的,由此可知所求函数的最小正周期为T=π2.(3)∵ω=2π,∴T=2π2π=π2.第一章三角函数命题方向2三角函数奇偶性的判断⇨典例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=sinx+cosx;(2)f(x)=sin(3x4+3π2);(3)f(x)=1+sinx-cos2x1+sinx.[思路分析]先求函数的定义域,判断函数定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,最终确定奇偶性.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=sinx+cosx;(2)f(x)=sin(3x4+3π2);(3)f(x)=1+sinx-cos2x1+sinx.[思路分析]先求函数的定义域,判断函数定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,最终确定奇偶性.第一章三角函数[解析](1)函数的定义域为R.∵f(-x)=sin(-x)+cos(-x)=sinx+cosx=f(x),∴函数f(x)是偶函数.(2)f(x)=sin(3x4+3π2)=-cos3x4,x∈R.∵f(-x)=-cos(-3x4)=-cos3x4=f(x),∴函数f(x)=sin(3x4+3π2)是偶函数.[解析](1)函数的定义域为R.∵f(-x)=sin(-x)+cos(-x)=sinx+cosx=f(x),∴函数f(x)是偶函数.(2)f(x)=sin(3x4+3π2)=-cos3x4,x∈R.∵f(-x)=-cos(-3x4)=-cos3x4=f(x),∴函数f(x)=sin(3x4+3π2)是偶函数.第一章三角函数(3)函数应满足1+sinx≠0,则函数f(x)=1+sinx-cos2x1+sinx的定义域为{x∈Rx≠2kπ+3π2,k∈Z}.显然定义域不关于原点对称,故函数f(x)=1+sinx-cos2x1+sinx为非奇非偶函数.(3)函数应满足1+sinx≠0,则函数f(x)=1+sinx-cos2x1+sinx的定义域为{x∈Rx≠2kπ+3π2,k∈Z}.显然定义域不关于原点对称,故函数f(x)=1+sinx-cos2x1+sinx为非奇非偶函数.第一章三角函数『规律总结』1.判断函数奇偶性的常用方法:(1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.(2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性.(3)验证法,即验证f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0(或f-xfx=±1)是否成立.此法通常用于函数是非奇非偶的情形.2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数是非奇非偶数.『规律总结』1.判断函数奇偶性的常用方法:(1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.(2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性.(3)验证法,即验证f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0(或f-xfx=±1)是否成立.此法通常用于函数是非奇非偶的情形.2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数是非奇非偶数.第一章三角函数〔跟踪练习2〕判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=xcos(π+x);(2)f(x)=sin(cosx).[解析](1)函数f(x)的定义域为R,∵f(x)=x·cos(π+x)=-x·cosx,∴f(-x)=-(-x)·cos(-x)=x·cosx=-f(x).∴f(x)为奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R.∵f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cosx)=f(x).∴f(x)为偶函数.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,π2]时,f(x)=sinx,求f(5π3)的值.三角函数奇偶性与周期性的综合运用典例3[思路分析]利用周期性与奇偶性将5π3化到[0,π2]内再求值.[解析]∵f(x)的最小正周期为π,∴f(5π3)=f(2π3+π)=f(2π3)=f(π-π3)=f(-π3).又f(x)是偶函数.∴f(-π3)=f(π3)=sinπ3=32.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,π2]时,f(x)=sinx,求f(5π3)的值.[思路分析]利用周期性与奇偶性将5π3化到[0,π2]内再求值.[解析]∵f(x)的最小正周期为π,∴f(5π3)=f(2π3+π)=f(2π3)=f(π-π3)=f(-π3).又f(x)是偶函数.∴f(-π3)=f(π3)=sinπ3=32.第一章三角函数『规律总结』1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上,代入求解即可.2.如果一个函数是周期函数,若要研究该函数的有关性质,结合周期函数的定义可知,完全可以只研究该函数在一个周期上的特征,加以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质.第一章三角函数〔跟踪练习3〕若f(x)是以π2为周期的奇函数,且f(π3)=1,求f(-5π6)的值.[解析]∵f(x)为以π2为周期的奇函数,∴f(-56π)=-f(56π)=-f(π2+π3)=-f(π3)=-1.〔跟踪练习3〕若f(x)是以π2为周期的奇函数,且f(π3)=1,求f(-5π6)的值.[解析]∵f(x)为以π2为周期的奇函数,∴f(-56π)=-f(56π)=-f(π2+π3)=-f(π3)=-1.利用定义求f(x)=sin(2x-π6)的最小正周期.不清楚f(x+T)表达的意义典例4[错解]∵f(x+2π)=sin2x+2π-π6=sin2x-π6+4π=sin2x-π6=f(x),∴T=2π是f(x)的最小正周期.[错因分析]错解中求的不是最小正周期.对于y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),其周期为2πω.利用定义求f(x)=sin(2x-π6)的最小正周期.[错解]∵f(x+2π)=sin2x+2π-π6=sin2x-π6+4π=sin2x-π6=f(x),∴T=2π是f(x)的最小正周期.[错因分析]错解中求的不是最小正周期.对于y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),其周期为2πω.第一章三角函数[正解]令z=2x-π6,∵x∈R,∴z∈R.又∵y=sinz的周期是2π,z+2π=2x-π6+2π=2(x+π)-π6,∴f(x+π)=sin2x+π-π6=sin2x-π6+2π=sin2x-π6=f(x).∴T=π.[误区警示]最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数,是对x而言,而不是对ωx而言.[正解]令z=2x-π6,∵x∈R,∴z∈R.又∵y=sinz的周期是2π,z+2π=2x-π6+2π=2(x+π)-π6,∴f(x+π)=sin2x+π-π6=sin2x-π6+2π=sin2x-π6=f(x).∴T=π.[误区警示]最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数,是对x而言,而不是对ωx而言.第一章三角函数〔跟踪练习4〕对于函数y=sinx,x∈R有sin(π6+2π3)=sinπ6,能否说2π3是它的周期?[解析]不能.周期必须对定义域内的每一个值都有f(x+T)=f(x).〔跟踪练习4〕对于函数y=sinx,x∈R有sin(π6+2π3)=sinπ6,能否说2π3是它的周期?[解析]不能.周期必须对定义域内的每一个值都有f(x+T)=f(x).1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是()D第一章三角函数2.函数y=sin2x是()A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为π2的偶函数D.周期为π2的奇函数3.若函数f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期是2,则ω的值为()A.π2B.πC.3π2D.2πAB2.函数y=sin2x是()A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为π2的偶函数D.周期为π2的奇函数3.若函数f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期是2,则ω的值为()A.π2B.πC.3π2D.2π第一章三角函数4.函数f(x)是以2为周期的函数,且f(2)=2,则f(6)=______.[解析]f(6)=f(4+2)=f(4)=f(2+2)=f(2)=2.2第一章三角函数5.设f(x)是以1为一个周期的奇函数,且当x∈(-12,0)时,f(x)=4x-1,求f(-318)的值.[解析]∵f(x)的周期为1,f(-318)=f(-4+18)=f(18).又当x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,∴f(-18)=4×(-18)-1=-32,又∵f(x)是奇函数,∴f(-18)=-f(18),∴f(18)=32.故f(-318)=32.5.设f(x)是以1为一个周期的奇函数,且当x∈(-12,0)时,f(x)=4x-1,求f(-318)的值.[解析]∵f(x)的周期为1,f(-318)=f(-4+18)=f(18).又当x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,∴f(-18)=4×(-18)-1=-32,又∵f(x)是奇函数,∴f(-18)=-f(18),∴f(18)=32.故f(-318)=32.课时作业学案第一章三角函数03感谢您下载68素材平台上提供的PPT作品,为了您和68素材以及原创作者的利益,请勿复制、传播、销售;素材均来源于网络用户分享,故68素材不具备充分的监控能力来审查图片是否存在侵权等情节。68素材不拥有此类图片的版权,本站所有资源仅供学习与交流,不得用于任何商业用途的范围,用户应自觉遵守著作权法及其他相关法律的规定,不得侵犯本网站及权利人的合法权利,给68素材和任何第三方造成损失的,侵权用户应负全部责任。版权声明谢谢观看必修④·人教A版新课标导学


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