正弦(课件)-人教版数学九年级下册

正弦1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变).(重点)2.能根据正弦概念正确进行计算.(重点、难点)1.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1cm，根据“在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的_____”，得到AB=____cm，然后根据勾股定理，得AC=____cm.2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，BC=1cm，则AC=____cm，AB=____cm.一半2√31√2问题:为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70(m).12ABCAB的对边斜边也就是说，需要准备70m长的水管.12ABCAB的对边斜边在前面的问题中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不论三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比.由此你能得出什么结论？BCABAB2=AC2+BC2=2BC2AB=BC因此12222BCBCABBC结论：在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.BCAB12222BCBCABBC综上可知，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？1.比值与点B在角边上的位置无关；2.比值随着∠A的变化而变化；3.对于每一个确定的∠A，比值都是一个确定的值.BCABBCABBCABBCABBCABBCAB任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，那么与有什么关系？你能解释一下吗？BCABBCAB∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′∴，即BCABABABBCBCABAB这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.BCABBCABBCABABABBCBCABAB如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinAaAc的对边斜边(1)sinA不是一个角;(2)sinA不是sin与A的乘积;(3)sinA是一个比值;例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变sinAaAc的对边斜边例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此sinA=，sinB=.2222435ABACBC35BCAB45ACAB2222435ABACBC35BCAB45ACAB例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.解：如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此sinA=，sinB=.222213512ACABBC513BCAB1213ACAB222213512ACABBC513BCAB1213ACAB如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此sinA=，sinB=.22225334ABACBCBCAB5343433434334ACAB22225334ABACBCBCAB5343433434334ACAB如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.解：如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此sinA=，sinB=.22512BCABAC22555BCAB55ACAB22512BCABAC22555BCAB55ACAB例2.如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.解：过点P作PA⊥x轴，P(3，4)，∴A(3，0)A(0，3)在△APO中，由勾股定理得2222345OPOAAP因此4sin5APOPα【点睛】结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.2222345OPOAAP4sin5APOP在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠BAC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．D例3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.1sin3AABC【分析】已知sinA及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长.然后再利用勾股定理，求出BC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的面积.解：∵∴1sin3A，13BCAB，∴AB=3BC=3×3=9.2222=9362.ACABBC∴∴6222sin.93ACBAB∴11=623=92.22ABCSACBC△1sin3A1sin3A，13BCAB，2222=9362.ACABBC6222sin.93ACBAB11=623=92.22ABCSACBC△在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长．725解：设BC=7x，则AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得22222524.ACABBCBCx即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).72522222524.ACABBCBCx例4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=5，则sin∠BFD的值为（）A．B．C．D．解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，∴∠A=∠B，由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，∴∠EDF=∠A，∴∠EDF=∠B，∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，∴∠CDE=∠BFD．又∵AE=DE=5，∴CE=8-5=3，∴在直角△ECD中，sin∠CDE=，∴sin∠BFD=．A1.在Rt△ABC中，∠C=90°,若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值()A.扩大为原来的5倍B.缩小为原来的吉C.扩大为原来的10倍D.不变D2.如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．C3.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则sin∠BDE的值等于（）A．B．C．D．A4.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O、C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣6，4），则sin∠OBC的值为（）A．B．C．D．C5.如图，在△ABC中，∠C=90°,sinA=，D为AC上一点∠BDC=45°,DC=6,则AB的长是______.156.如图，☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O的直径,若☉O的半径是4，sinB=，求线段AC的长,解:连接CD∵AD是☉O的直径，∴∠ACD=90°∵,∴∠D=∠B∴sinD=sinB=,∵在Rt△ACD中，sinD==.∴AC=AD=×8=2ACACACAC7.如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,△ABC的周长为24,点D为BC的中点,sinB=.(1)求BC的长;(2)求∠BAD的正弦值.解:(1)∵sinB=，∴=设AB=5k，AC=3k，则BC=4k∵△ABC的周长为24∴3k+4k+5k=24,解得k=2∴AB=10，AC=6，BC=87.如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,△ABC的周长为24,点D为BC的中点,sinB=.(1)求BC的长;(2)求∠BAD的正弦值.解:(2)过点D作DE⊥AB，垂足为E∵AD为中线，∴BD=CD=BC=4∵S△ABD=BD·AC=AB·DE∴10DE=24，解得DE=在Rt△ACD中，∵AD2=CD2+AC2=52,∴AD=2∴sin∠BAD==如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinAaAc的对边斜边(1)sinA不是一个角;(2)sinA不是sin与A的乘积;(3)sinA是一个比值;例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变sinAaAc的对边斜边