解直角三角形的应用(1)(课件)-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂(人教版)

解直角三角形的应用(1)1.巩固解直角三角形有关知识;(重点)2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.(重点、难点)1.如图，在Rt△ABC中，∠A=38°，AC=20，则∠B=____，AB≈______，BC≈______(边的长度精确到0.01)2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则AB=___，∠A≈_______，∠B≈______(精确到1′)52°25.3816.63536°52′53°8′例1.2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）？解：设∠POQ=α，在右图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形.∵cosα==≈0.9491∴α≈18.36°∴的长为(km)由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.OQOF64006400343PQ183618363142640064002051180180...OQOF64006400343PQ183618363142640064002051180180...利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：1.将实际问题抽象为数学问题；2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题3.得到数学问题的答案；4.得到实际问题的答案.“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，=500km，地球的半径为6370km，cos4.5°=0.997)？ACAC解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是看C点，AB就是“楼”的高度，∴AB=OB－OA=6389－6370=19(km).即这层楼至少要高19km，即1900m.这是不存在的.在Rt△OCB中，∠O1804.5ACOC，63706389kmcoscos4.5OCOBO，∠ACAC1804.5ACOC，63706389kmcoscos4.5OCOBO，∠例2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高(结果取整数)？在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.解：如图，α=30，β=60°，AD=120.∵tanα=，tanβ=∴BD=AD•tanα=120×tan30°=120×=40CD=AD•tanβ=120×tan60°=120×=120∴BC=BD+CD=40+120=160≈277(m)因此，这栋楼高约为277m.BDADCDAD33BDADCDAD33如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位).解：在Rt△ADC与Rt△BCD中∵tan50°=，tan45°=∴AC=40·tan50°≈47.67BC=40·tan45°=40∴AB=AC-BC=47.67-40≈7.7(m)答：旗杆的高度约为7.7mACDCBCDCACDCBCDC例3.如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB=6m,DE=10m，求乙楼AC的高度(参考数据:≈1.41,≈1.73,精确到0.1m).33BFEF1633xx解:如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形.∴EF=CD，CF=DE=1Om由题意得∠DAC=∠ADC=45°，∠BEF=30°设AC=xm,则CD=EF=xm,BF=AC-CF-AB=(x-16)m在Rt△BEF中，tan∠BEF=即，解得x≈37.8(m)答:乙楼AC的高度约为37.8m33BFEF1633xx如图，在数学活动课上，某学习小组在校园内用测量仪测量一棵树的高度，在C处测得，在E处测得，米，仪器高度米，请根据测量的数据计算这棵树的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，，，）解：延长交于H，则易知，设（米），，，在中，，，在中，，如图，在数学活动课上，某学习小组在校园内用测量仪测量一棵树的高度，在C处测得，在E处测得，米，仪器高度米，请根据测量的数据计算这棵树的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，，，），，即（米）；又，四边形为矩形，（米）答：这棵树AB的高度为米．1.从一艘船上测得海岸_上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时,船离灯塔的水平距离是()A.42米B.14米C.21米D.42米.2.身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛,四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是()A.甲B.乙C.丙D.丁AD3.如图，某航天飞船在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球表面的最远点Q，若∠QAP=a，地球半径为R,则航天飞船距离地球表面的最近距离AP以及P，Q两点间的地面距离分别是()A.B.180,sinRR90180(),sinRRR90180(),sinRRR90180(),cosRRRC.D.B180,sinRR90180(),sinRRR90180(),sinRRR90180(),cosRRR4.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BC0=x，则点A到OC的距离等于()A.a·sinx+b·sinxB.a·cosx+b·cosxC.a·sinx+b·cosxD.a·cosx+b·sinxD5.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为_________m.(结果保留根号)6.如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为______米.(结果保留根号)5+517.某公共场所准备改善原有楼梯的安全性能，把倾角由45°减至30°，楼梯高度不变.已知楼梯原长4m，那么调整的楼梯.会增加多长?楼梯多占了多长一段地面?解:在Rt△ABC中，AB=4，∠ABC=45°∴BC=AC=AB·sin45°=2m在Rt△ADC中，AC=2，∠ADC=30°∴AD=m,DC=m∴AD-AB=(4-4)m,DC-BC=(2-2)m答:调整后楼梯会增加(4-4)m,占地会加长(2-2)m.4230sinAC2630tanAC4230sinAC2630tanAC8.如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)解:在Rt△ACD中，∠A=30°∴tan30°=∴AC=CD在Rt△BCD中，∠CBD=60°∴tan60°=，∴BC=CD∵AC-BC=50，∴CD-CD=50解得,CD≈43答:该塔约为43m高.33CDAC3CDBC33CDAC3CDBC9.八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：，，）9.八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：，，）解：由题意得，，则四边形均为矩形．所以米，米，在中，，则．设米，9.八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：，，）在中，，则，即，解得：，所以米，则（米）．答：八仙阁AB的高度为48米．10.如图，某学习小组在学习了“利用三角函数测高后”，选定测量小河对面一幢建筑物的高度．他们先在斜坡的D处，测得建筑物顶端B的仰角为，且D离地面的高度为9米，坡底的长度米，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角为，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物的高度．（结果精确到1米，参考数据：）解：过点作，交于点．∵，，，∴四边形为矩形，∴，米，又∵，，∴，10.如图，某学习小组在学习了“利用三角函数测高后”，选定测量小河对面一幢建筑物的高度．他们先在斜坡的D处，测得建筑物顶端B的仰角为，且D离地面的高度为9米，坡底的长度米，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角为，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物的高度．（结果精确到1米，参考数据：）∴，又∵，∴，即，∴米．