线性代数,线性代数知识点总结

('《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶α=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则AB=AB；④kA=knA3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝E，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)-1=B-1A-1，(AT)-1=(A-1)T；(AB的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：①A≠0；②R(A)=n;③A~E即A可以经过一系列的初等变换变成E（4）逆的求解①伴随矩阵法（适用范围：①低阶的（2、3阶）②具体的数字矩阵）A-1=A；(A是A的伴随矩阵)A=An-1；A=nA②初等变换法（AE）~（EA-1）(适用范围：任意的具体的数字矩阵)③定义法：（适用范围：抽象的矩阵）5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=A-1B；XB=A，则X=BA-1；AXB=C，则X=A-1CB-16.求An的方法①数学归纳法P556、7②条件：A=（b1...bm）A的行（列）向量对应成比例R(A)=1=列向量行向量，则An=(a1b1+a2b2+…ambm)n-1A③对角化法A可以写成A=P∧P-1，其中∧是对角矩阵,则An=P∧P-1P∧P-1….P∧P-1=P∧nP-17.小结：（1）初等变换不改变矩阵的秩;(2)行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数。（3）零矩阵的秩等于0；（4）非零矩阵的秩大于等于18.初等变换有三类①交换两行（列）rirj②某一行（列）乘以非零常数kkri③某一行（列）加上另外一行的k倍rj+kri三、线性方程组1．线性方程组解的判定（n个未知数）定理：(1)R(A,b)≠R(A)无解；即增广矩阵的秩R()不等于系数矩阵的秩R(A)(2)R()=R(A)=n有唯一解；(3)R()=R(A)=a1b1+a2b2+…+anbn；（3）向量长度（模）===（4）向量单位化,单位向量模为一（5）向量组的正交化（施密特方法）设α1，α2，…，αn线性无关，则（6）向量和正交（垂直关系）<>=0结论：两两正交的非零向量必线性无关，但线性无关不一定两两正交3．线性组合（1）定义若β=k11+k22+…+knn，则称β是向量组的一个线性组合，或称β可以用向量组的一个线性表示。（2）判别方法将向量组合成矩阵，记A＝()，B=(,β)若R(A)=R(B)，则β可以用向量组的一个线性表示；若R(A)≠R(B)，则β不可以用向量组的一个线性表示。（3）求线性表示表达式的方法：将矩阵B进行一系列的初等行变转化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4．向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义设k11+k22+…+knn=0，若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关；若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。（2）判别方法：①R()