考研数学一-矩阵的特征值和特征向量线性代数二次型(一)-真题-无答案

('考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一)(总分52,考试时间90分钟)一、选择题1.设A为n×m实矩阵，r(A)=n，则(A)AAT的行列式值不为零．(B)AAT必与单位矩阵相似．(C)ATA的行列式值不为零．(D)ATA必与单位矩阵相似．2.下列结论正确的是(A)方阵A与其转置矩阵AT有相同的特征值，从而有相同的特征向量．(B)任意两个同阶的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵．(C)对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的．(D)设PTAP=B，若A为正定矩阵，P≠0，则B必为正定矩阵．3.设n(n≥2)阶矩阵A的行列式A=a≠0，λ是A的一个特征值，A为A的伴随矩阵，则A的伴随矩阵(A)的一个特征值是(A)λ-1an-1．(B)λ-1an-2．(C)λan-2．(D)λan-1．4.设A为m×n实矩阵，r(A)=n，则(A)ATA必合同于n阶单位矩阵．(B)AAT必等价于m阶单位矩阵．(C)ATA必相似于n阶单位矩阵．(D)AAT是m阶单位矩阵．5.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是(A)B-1QTAQB．(B)(B-1)TQTAQB-1．(C)BTQTAQB．(D)BQTAQ(BT)-1．6.设线性方程组(λE-A)x=0的两个不同解向量是ξ1，ξ2，则矩阵A的对应于特征值λ的特征向量必是(A)ξ1．(B)ξ2．(C)ξ1-ξ2．(D)ξ1+ξ2．7.设α，β是n维列向量，αTβ≠0，n阶方阵A=E+αβT(n≥3)，则在A的n个特征值中，必然(A)有n个特征值等于1．(B)有n-1个特征值等于1．(C)有1个特征值等于1．(D)没有1个特征值等于1．8.二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是(A)(B)(C)(D)9.设A为n阶实对称矩阵，则下列结论正确的是(A)A的n个特征向量两两正交．(B)A的n个特征向量组成单位正交向量组．(C)A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=n-k．(D)A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=k．10.设A为n阶矩阵，则在下列条件中，不是“A的特征值为-1”的充分条件的是(A)A2=E．(B)r(A+E)＜n．(C)A的各行元素之和均为-1．(D)AT=-A，且1是A的特征值．11.设A，B为实对称矩阵，则A合同于B，如果(A)r(Ａ)=r(Ｂ)．(B)A，B为同型矩阵．(C)A，B的正惯性指数相等．(D)上述三项同时成立．12.已知，设d1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，则矩阵P不能是(A)(α1，-α2，α3)．(B)(α1，α2+α3，α2-2α3)．(C)(α1，α3，α2)．(D)(α1+α2，α1-α2，α3)．13.设二次型f(x1，x2，…，xn)=xTAx，其中AT=A，x=(x1，x2，…，xn)T，则f为正定二次型的充分必要条件是(A)f的负指数是0．(B)存在正交矩阵Q，使QTAQ=E．(C)f的秩为n．(D)存在可逆矩阵C，使A=CTC．14.已知A，B均为n阶正定矩阵，则下列结论不正确的是(A)A+B，A-B，AB是正定矩阵．(B)AB的特征值全大于零．(C)若AB=BA，则AB是正定矩阵．(D)对任意正常数k与l，kA+lB为正定矩阵．15.设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是(A)矩阵A有n个不同的特征值．(B)矩阵A与AT有相同的特征值和特征向量．(C)矩阵A的特征向量α1，α2的线性组合c1α1+c2α2仍是A的特征向量．(D)矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关．16.设A为n阶矩阵，则下列命题①设A为n阶实可逆矩阵，如果A与-A合同，则n必为偶数②若A与单位矩阵合同，则A＞0⑧若A＞0，则A与单位矩阵合同④若A可逆，则A-1与AT合同中正确的个数是(A)3个．(B)2个．(C)1个．(D)0个．17.设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α2，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则(A)当λ1=λ2时，α1与α2必成比例．(B)当λ1=λ2时，α1与α2必不成比例．(C)当λ1≠λ2时，α1与α2必成比例．(D)当λ1≠λ2时，α1与α2必不成比例．18.设A=(aij)n×n为正定矩阵，则下列结论不正确的是(A)aij≥0(i=1，2，…，n)．(B)A-1为正定矩阵．(C)A为正定矩阵．(D)对任意正整数k，Ak为正定矩阵．19.设n阶矩阵A与对角矩阵Λ相似，则下述结论中不正确的是(A)A-kE～Λ-kE(k为任意常数)．(B)Am～Λm(m为正整数)．(C)若A可逆，则A-1～Λ-1．(D)若A可逆，则A～E．20.二次型x的秩为(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．21.设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值A的特征向量，则下列结论中不正确的是(A)α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量．(B)α是矩阵的属于特征值的特征向量．(C)α是矩阵A的属于特征值上的特征向量．(D)α是矩阵P-1A的属于特征值A的特征向量，其中P为n阶可逆矩阵．22.设A，B为n阶矩阵，则A与B相似的充分必要条件是(A)A，B都相似于对角矩阵．(B)λE-A=λE-B．(C)存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=B．(D)存在可逆矩阵P，使得ABT=PTB．23.与矩阵合同的矩阵是(A)(B)(C)(D)24.正定实二次型的矩阵必是(A)实对称矩阵且所有元素为正数．(B)实对称矩阵且对角线上元素为正数．(C)实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数．(D)实反对称矩阵且行列式值为正数．25.n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是(A)A有n个相异的特征值．(B)AT有n个相异的特征值．(C)A有n个相异的特征向量．(D)A的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同．26.设矩阵A与B相似，则必有(A)A，B同时可逆或不可逆．(B)A，B有相同的特征向量．(C)A，B均与同一个对角矩阵相似．(D)矩阵λE-A与λE-B相等．27.已知矩阵，则下列矩阵与A既相似又合同的是(A)(B)(C)(D)二、填空题28.设可对角化，则a，b，c的取值为______．29.若二次型f(x1，x2，x3)=-4x1x2-4x1x3+4x2x3是正定的，则t的取值范围是30.已知α=(1，3，2)T，β=(1，-1，2)T，B=αβT，苦矩阵A，B相似，则(2A+E)的特征值为______．31.设-1，5，λ都是矩阵的特征值，则λ=______；A对应3个特征值的特征向量是______的，且是______．(选填：线性无关，线性相关；相互正交，相互不正交．)32.设n阶方阵A的各列元素之和都是1，则A的特征值是______．33.设AP=PB，其中，则A=______，A2011=______．34.设A是2阶实对称矩阵，λ1，λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2是分别对应于λ1，λ2的单位特征向量，则矩阵B=A+ξ1～A，其中A=______．35.设A为n阶可相似对角化的矩阵，且r(A-E)=r＜n，则A必有特征值λ=______，且其重数为______，其对应的线性无关的特征向量有______个．36.设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______．37.设A为n阶方阵．A≠E，且r(A+3E)+r(A-E)=n，则A的一个特征值是______，38.若二次型矩阵，则此二次型的表达式为______；其正、负惯性指数分别为______．39.若实对称矩阵A与矩阵合同，则二次型xTAx的规范形为______．40.若二次型的正、负惯性指数都是1，则a=______．41.已知向量都是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，且向量β=α1-2α2，则向量Aβ=______．42.已知矩阵相似，则a=______，b=______．43.设2阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，已知B=A2-3A+4E，则B=______．44.设A为n阶方阵，且A2-5A+6E=0，其中E为单位矩阵，则A的特征值只能是______．45.设矩阵不可对角化，且其特征值有重根，则a=______．',)