高等代数：矩阵相抵与相似性的深入探讨——理解矩阵相似的充分必要条件

('莆田学院数学系“高等代数选讲”课程论文题目：矩阵的相抵、合同、相似一些关于这三种等价关系的联系、差别和不变量姓名：阮超英学号：21041132数学系2002级本科（1）班2005年6月23日矩阵的相抵、合同、相似一些关于这三种等价关系的联系、差别和不变量[摘要]矩阵的相抵、合同、相似这三种等价关系之间既包含着联系，又蕴涵着差别，以及矩阵在各自关系下的不变量。[关键词]相抵；合同；相似；等价关系；不变量1首先介绍矩阵的相抵、合同及相似概念的引入及其定义以及等价关系的证明。1.1矩阵相抵矩阵的相抵是在矩阵的初等变换的基础上引入的，故先了解一下初等变换下的初等矩阵。定义1由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。显然，初等矩阵是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。互换矩阵的行与行的位置把矩阵的行乘以一非零数（为数域中数）把矩阵的行的倍加到行，有同样可以得到与列变换相应的初等矩阵，不难看出，初等矩阵是可逆的，且逆矩阵还是初等矩阵。定义2矩阵与相抵（记为或称为等价）是指对进行行和列的有限次的初等变换后可得到，亦即存在初等矩阵显然，矩阵的相抵是一种等价关系，它满足＜1＞对称性若与相抵,则与相抵；因为由定义2，有：，这样可得到：＜2＞反身性若和本身相抵；因为：＜3＞传递性若和相抵，和相抵，则和相抵。由于：故：而矩阵相抵的一个重要方面就是矩阵的相抵。的多项式，以下三种变换称为对的“初等行变换”：1．交换矩阵的两行；2．把矩阵的某行乘以一非零数3．把矩阵的一行乘以一多项式加到另一行上去。类似可以定义列的初等变换。定义3若，都是矩阵且经过初等变换后可变为，则称矩阵与相抵。与数字矩阵一样，矩阵的相抵关系是一种等价关系。即<1>与自身相抵;<2>若与相抵,则与相抵;<3>若与相抵,与相抵,则与相抵。矩阵的合同经过一个非退化的线性替换,二次型还是变成二次型.但是,替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系,即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系。设：〈1〉是一个二次型，作非退化线性替换〈2〉我们得到一个的二次型现在来看矩阵与的关系把〈2〉带入〈1〉，有易看出矩阵也是对称的，事实上由此，即得这就是前后两个二次型的矩阵的关系，与之相应，我们引入定义4数域上矩阵成为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使。合同是矩阵之间的一个关系，不难看出合同关系具有<1>反身性<2>对称性由即得<3>传递性因之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的。1.3矩阵的相似引入：定理1设线性空间中线性变换在两组基〈3〉〈4〉下的矩阵分别为从基〈3〉到〈4〉的过渡矩阵是，于是证明：已知于是由此即得由此我们引进相似的定义定义5设，为数域上两个级方阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得，就说相似于。记作。相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：<1>反身性，这是因为<2>对称性如果，那么。如果，那么有X使，令，就有所以。<3>传递性如果，，那么。已知有，使令就有2一些关于矩阵的相抵、合同、相似的充要条件及其证明定理2矩阵与相抵当且仅当二者的行列式因子组相同或者不变因子组相同。证明：我们只需证行列式因子在任意一种初等变换下不变就可以了。对第一种初等变换，变换矩阵的任两行，显然的阶子式最多改变一个符号，因此行列式因子不变。对第二种初等变换，的阶子式与变换后矩阵的阶子式最多差一个非零常数，因此行列式因子也不改变。对第三种初等变换，记变换后的矩阵为，则与的阶子式可能出现以下3种情形：〈1〉子式完全相同；〈2〉子式中的一行（或一列）等于中相应子式的同一行（列）加上该子式中某一行（列）与某个多项式之积；〈3〉子式的某一行（或列）等于中相应子式的同一行（列）加上不在该子式中的某一行与某一个多项式之积。在前面两种情形，行列式的值不变，因此不影响行列式因子，现在来讨论第三种情形。设为的阶子式，相应的的阶子式记为，则由行列式性质得其中由的行与列组成，因此它与的阶子式最多差一个符号。是乘以某一行的那个多项式，于是的行列式因子，，故，这说明可整除的所有阶子式，因此可整除的阶行列式因子。但也可用第三种初等变换变成，于是，由于及都是首一的多项式，因此必有。证毕定理3两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相同。证明：由于任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。换个说法既是，任一复数的对称矩阵合同于一个形式为的对角阵，从而有，两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相同。定理4数域上的阶矩阵，则与相似的充要条件是它们的特征矩阵与具有相同的行列式因子或不变因子。证明：显然不变因子被行列式因子唯一确定，反之，行列式因子也被不变因子唯一确定，由定理2及定理：“设，是数域上的矩阵，则与相似的充要条件是矩阵与相抵”证毕3基于上述几个定理，进一步探讨矩阵的相抵、合同、相似之间的一些联系及差别。(1)为了把数域上矩阵的相似关系归结为矩阵的相抵关系,先介绍一个定理。定理5设，是数域上的矩阵，则与相似的充分必要条件是矩阵与相抵。证明：若与相似，则存在上非异阵使于是〈3〉把看成是常数矩阵，〈3〉式表明与相抵。反过来，若与相抵，即存在及，使〈4〉其中与都是有限个初等矩阵之积，因而都是可逆阵。因此可将〈4〉式写为：〈5〉又可设〈6〉代入〈5〉式经整理得：〈7〉〈7〉式的左边是一次的矩阵多项式，因此〈7〉式中括号内的部分必须是零次的，也即必是一个常数矩阵，设为。于是〈8〉〈8〉式又可整理为再次比较次数得现只须证明是一个非异阵即可。由假设将上式两边右乘并移项得：但因此〈9〉又设代入〈9〉式并整理得比较次数即知上式左边方括号内的矩阵必须为零。因此，即是非异阵。证毕推论1设是复数域上的两个数域且，若是上的两个矩阵，则在上相似的充要条件是它们在上相似。证明：若在上相似，由于，它们当然在上相似，反之，若在上相似，则与在上有相同的不变因子，也就是说它们有相同的法式，但在求法式的过程中只涉及多项式的加、减、乘及数的加、减、乘及数乘下也封闭。因此法式中的不变因子多项式仍是上的多项式，与初等变换相对应的初等矩阵也是上矩阵，也就是说存在上可逆钜阵使，因此，与在上相抵，从而，在上相抵。证毕例1设，，它们相似吗？解法1：所以与等价，故。解法2：所以与等价，故。此题将相似关系转化为等价关系，相似关系难以处理，但等价关系就可以用初等变换，这样问题就变得比较具体，同时还可以求出相似变换矩阵。事实上，由上可知即，于是，从而，这里（2）合同与相似之间的联系由于一个二次型经变量代换后得到的二次型的相伴对称矩阵与原二次型相伴的对称矩阵是合同的，又因为含平方项的二次型其相伴对称矩阵是一个对角阵，因此，化二次型为平方项等价于对对称矩阵寻找非异阵，使是一个对角阵。这一情形于矩阵相似关系颇为类似，在相似关系下我们希望找到一个非异阵，使成为简单形式的矩阵（如标准型）。现在我们要找一个非异阵，使为对角阵，因此把二次型化为平方项相当于寻找合同关系下的标准型。4矩阵的相抵、合同、相似关系下的不变量及全系不变量（1）秩是两个（同阶）矩阵在相抵关系下的不变量，反之，若两个矩阵的秩相同，则它们必相抵，这是因为基于以下定理6任意一个矩阵都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，主对角线上1的个数等于的秩（1的个数可以是零）。证明：如果，那么它已经是标准形了，以下无妨假定，经过初等变换一定可以变成一左上角元素不为零的矩阵。当时，把其余的行减去第一行的倍，其余的列减去第一列的倍。然后，用乘第一行，就变成是一个的矩阵，对再重复以上的步骤。这样下去便可得出所要的标准形。显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上1的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以1的个数也就是矩阵的秩。而矩阵和相抵的充要条件是有初等矩阵使故秩是两个（同阶）矩阵在相抵关系下的不变量。（2）相似矩阵的不变量，这些不变量不仅在相似关系下保持不变而且足以判断两个矩阵是否相似，我们称这样的不变量为全系不变量。相似关系比相抵关系更为复杂一些，它的全系不变量也比秩复杂。我们知道，矩阵的特征多项式（从而特征根）是相似不变量。但它并不是全系不变量，因为我们很容易举出例子来证明这一点，比如下面两个矩阵的特征多项式相同但不相似：的特征多项式与的特征多项式都是，但，决不相似。人们经过研究终于发现，两个矩阵与之间的相似与的相抵有着密切的联系：这样我们可以把数域上矩阵的相似关系归结为矩阵的相抵关系，又由定理2知行列式因子组或不变因子组是矩阵矩阵与相抵的不变量，而由定理4知数域上的阶矩阵与相似，则它们的特征矩阵与具有不变的行列式因子或不变因子。（3）秩是矩阵合同关系下的一个不变量我们已经知道，任意一个实对称阵必相合于一个对角阵：，其中显然。因此秩是矩阵合同关系下的一个不变量。如同相似标准型一样，我们要找出实对称矩阵在合同关系下的全系不变量。由于合同关系是等价关系，我们不妨设实对称矩阵已具有下列对角阵的形状：由：“设是数域上的非零对称矩阵，则必存在非异阵，使的第（1，1）元素不等于零”知道，任意调换的主对角线上的元素得到的矩阵仍与合同。因此，我们可把零放在一起，把正项和负项放在一起，即可设所代表的二次型为令则式变为这等价于说合同于下列对角阵：现在我们要证明式中的数及是一个不变量。定理7设是一个元实二次型，可化为两个标准型：其中；则必有证明：用反证法，设，由前面的说明知道可设及均为+1或-1，因此又设其中，，，于是。令则因为，因此齐次方程组必有非零解（个未知数，个方程式）令其中一个非零解为把这组解代入式左边得到，但这时，故式右边将小于等于零，这就引出了矛盾。同理可证也为不可能。证毕现引入符号差的定义：定义6设是一个实二次型，若它能化为形如式的形状，则称是二次型的秩，是的正惯性指数，是的负惯性指数，称为的符号差。定理8秩与符号差是实对称矩阵合同关系下的全系不变量。证明：由上面的定理知道，秩与符号差是实对称矩阵合同关系下关系的不变量。反之，若阶实对称矩阵的秩为，符号差都是，则它们都合同于其中个1，个-1及个零。因此与合同。证毕对于复二次型要比实二次型更简单。因为下列复二次型均可化为其，因此复对称矩阵的合同关系只有一个全系不变量，那就是秩。参考文献：[1]北大数学系几何与代数教研室代数小组.《高等代数》（第三版）.高等教育出版社.[2]李师正，张玉芬，李桂荣等.《高等代数解题方法与技巧》高等教育出版社.[3]张贤科许甫华编著.《高等代数学》.清华大学出版社.[4]姚慕生编著.《高等代数学》.复旦大学出版社.',)